统计函数API概念

  API（Application Programming Interface,应用程序编程接口）是一些预先定义的函数，目的是提供应用程序与开发人员基于某软件或硬件得以访问一组例程的能力，而又无需访问源码，或理解内部工作机制的细节。

  统计函数API是通过前台web网页传入数据和参数，服务器接收数据和参数后，经过统计计算返回结果的一种新型接口形式。

  通常前台web网页很难处理复杂数学或统计问题，通过Web Service技术将数据和参数递交给服务器，经过R、Python、.Net、PHP等处理后，按JSON格式返回计算结果，然后在网页中动态引用API函数接口，从而大大拓宽网页的统计数据处理能力。

蒙特卡罗方法

  蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

  当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

  蒙特卡罗解题可归结为三个主要步骤：

    构造或描述概率过程；
    实现从已知概率分布抽样（概率分布随机数模拟生成）；
    建立各种估计量。

目录

连续型随机样本及临界值

1.正态分布[返回]

（1）概述

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为\(σ^2\)的正态分布，记为N（μ，\(σ^2\)）。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0，σ=1时的正态分布是标准正态分布。

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

期望值：\(E(x)=\mu\)

标准差：\(D(x)=\sigma\)

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=normal_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&mean_value=0&sd_value=1
    
    参数：
    【sample_size, mean_value, sd_value, decimal_places】
    【生成随机数数量, 均值, 标准差, 保留的小数位数】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=normal_q&var_name=quantile_number&mean_value=0&sd_value=1&probit_value=0.975

    参数：
    【probit_value, mean_value, sd_value】
    【概率值（置信水平：1-α）, 均值, 标准差】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=normal_p&var_name=probit_number&mean_value=0&sd_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, mean_value, sd_value】
    【分位数值, 均值, 标准差】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=normal_d&var_name=probit_density_num&mean_value=0&sd_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=-1.4298|-1.3189|-1.2303|-0.2276|-0.0335|0.3198|0.3674|0.5244|0.5675|0.8554|-1.4298

    参数：
    【random_num_arr, mean_value, sd_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组, 均值, 标准差, 保留的小数位数】

2.均匀分布[返回]

（1）概述

均匀分布（Uniform Distribution）、均匀分布或称规则分布，是概率统计中的重要分布之一。均匀分布在自然情况下极为罕见，而人工栽培的有一定株行距的植物群落即是均匀分布。这表明X落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关,因此X落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。

（2）密度函数和分布函数

I、密度函数

\[f(x)=\frac{1}{b-a}\qquad(a\le x \le b)\]

II、分布函数

\[F(x)=\frac{x-a}{b-a}\qquad(a\le x \le b)\]

（3）性质

期望值：\[E(x)=\frac{a+b}{2}\]

标准差：\[D(x)=\frac{(b-a)^2}{12}\]

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=uniform_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&lower_value=-1&upper_value=1
    
    参数：
    【sample_size, lower_value, upper_value, decimal_places】
    【生成随机数数量, 下限, 上限, 保留的小数位数】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=uniform_q&var_name=quantile_number&lower_value=-1&upper_value=1&probit_value=0.5
    
    参数：
    【probit_value, lower_value, upper_value】
    【概率值, 下限, 上限】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=uniform_p&var_name=probit_number&lower_value=-1&upper_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, lower_value, upper_value】
    【分位数值, 下限, 上限】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=uniform_d&var_name=probit_density_num&lower_value=-1&upper_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=-0.4175|-0.3723|-0.2455|-0.1119|7e-04|0.5662|0.5663|0.6024|0.7033|0.7594

    参数：
    【random_num_arr, lower_value, upper_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组, 下限, 上限, 保留的小数位数】

3.对数正态分布[返回]

（1）概述

对数正态分布（logarithmic normal distribution），一个随机变量的对数服从正态分布，则该随机变量服从对数正态分布。如果 X 是服从正态分布的随机变量，则 \(exp(X)\) 服从对数正态分布；同样，如果Y服从对数正态分布，则\(ln(Y)\)服从正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。

（2）密度函数及分布图形

\[f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

（3）性质

期望值：\[E(x)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\]

标准差：\[D(x)=(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}\]

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=lnorm_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&mean_value=0&sd_value=1

    参数：
    【sample_size, mean_value, sd_value, decimal_places】
    【生成随机数数量, 均值, 标准差, 保留的小数位数】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=lnorm_q&var_name=quantile_number&mean_value=0&sd_value=1&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, mean_value, sd_value】
    【概率值（置信水平：1-α）, 均值, 标准差】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=lnorm_p&var_name=probit_number&mean_value=0&sd_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, mean_value, sd_value】
    【分位数值, 均值, 标准差】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=lnorm_d&var_name=probit_density_num&mean_value=0&sd_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=0.0587|0.8444|1.1109|1.1152|1.1757|1.1911|1.4933|1.5742|2.5244|7.5273

    参数：
    【random_num_arr, mean_value, sd_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组, 均值, 标准差, 保留的小数位数】

4.Gamma(γ)分布[返回]

（1）概述

伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数α，形状参数（shape parameter），β称为尺度参数（scale parameter）。在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下，可以导出地震发生i次时间的概率密度为Gamma密度函数（亦称为Gamma分布）

（2）密度函数及分布图形

\[f(x)=\frac{(\alpha{x})^{\beta-1}}{\Gamma(\beta)}\alpha{e}^{-\alpha{x}}\qquad(0\le x<\infty)\]

其中，

\[\Gamma(\beta)=\int_0^{\infty}t^{\beta-1}e^{t}dt\]

（3）性质

I、\(\beta=n\)，\(\Gamma(n,\alpha)\)就是Erlang分布。Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中 ,如一个复杂系统中从第1次故障到恰好再出现n次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n只船到达所需的时间都服从Erlang分布；

II、当\(\beta=1\)时，\(\Gamma(1,\alpha)\)就是参数为\(\alpha\)的指数分布,记为\(exp(\alpha)\) ；

III、当\(\alpha=\frac{n}{2}\)，\(\beta=\frac{1}{2}\)时，\(\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\)就是数理统计中常用的\(\chi^2(n)\) 分布；

IV、数学期望(均值)、方差

\[E(x)=\frac{\beta}{\alpha}\]

\[D(x)=\frac{\beta}{\alpha^2}\]

V、(Gamma 分布的可加性)：设随机变量 \(X_1,X_2,\dots,X_n\)相互独立，并且都服从Gamma分布，即\(X_i～\Gamma(\beta_i,\alpha)\)Xi，i =1,2,…,n, 则，

\[X_1,X_2,\dots,X_n～\Gamma(\beta_1+\beta_2+\dots+\beta_n,\alpha)\]

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=gamma_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&shape_value=0.5&rate_value=1

    参数：
    【sample_size, shape_value, rate_value, decimal_places】
    【生成随机数数量, 形状参数α（shape parameter）, 尺度参数β（scale parameter）, 保留的小数位数】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=gamma_q&var_name=quantile_number&shape_value=0.5&rate_value=1&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, shape_value, rate_value】
    【概率值（置信水平：1-α）, 形状参数α, 尺度参数β】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=gamma_p&var_name=probit_number&shape_value=0.5&rate_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, shape_value, rate_value】
    【分位数值, 形状参数α, 尺度参数β】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=gamma_d&var_name=probit_density_num&shape_value=0.5&rate_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=0.0073|0.0117|0.0562|0.1912|0.2421|0.3004|0.4403|0.8675|1.1443|2.0391

    参数：
    【random_num_arr, shape_value, rate_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组, 形状参数α, 尺度参数β, 保留的小数位数】

5.指数分布[返回]

（1）概述

指数分布（Exponential distribution）可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

（2）密度函数及分布图形

I、密度函数

\[f(x)=\lambda{e}^{-\lambda{x}}\qquad{x>0}\]

II、分布函数

\[F(x)=1-e^{-\lambda{x}}\qquad{x\ge{0}}\]

（3）性质

\[E(x)=\frac{1}{\lambda}\]

\[D(x)=\frac{1}{\lambda^2}\]

\[Q_L=\frac{ln(\frac{4}{3})}{\lambda}\]

\[Q_U=\frac{ln(2)}{\lambda}\]

\[M_e=\frac{ln(4)}{\lambda}\] 注：\(Q_L\)：下四分位数；\(Q_U\)：上四分位数；\(M_e\)：中分位数

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=exp_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&rate_value=1.5

    参数：
    【sample_size, rate_value, decimal_places】
    【生成随机数数量，率参数λ, 保留的小数位数】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=exp_q&var_name=quantile_number&rate_value=1.5&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, rate_value】
    【概率值，率参数λ】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=exp_p&var_name=probit_number&rate_value=1.5&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, rate_value】
    【分位数值，率参数λ】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=exp_d&var_name=probit_density_num&rate_value=1.5&decimal_places=4&random_num_arr=0.0162|0.075|0.2267|0.2757|0.4783|0.5716|0.8943|1.2323|1.4797|1.7181

    参数：
    【random_num_arr, rate_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组，率参数λ，保留的小数位数】

注：率参数\(\lambda\)即每单位时间内发生某事件的次数，例如，如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时（\(E(x)=\frac{1}{\lambda}\)）

6.卡方分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=chisq_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&df_value=3&ncp_value=0

    参数：
    【sample_size, df_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=chisq_q&var_name=quantile_number&df_value=3&ncp_value=0&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, df_value, ncp_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=chisq_p&var_name=probit_number&df_value=3&ncp_value=0&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, df_value, ncp_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=chisq_d&var_name=probit_density_num&df_value=3&ncp_value=0&decimal_places=4&random_num_arr=0.0881|0.4838|0.8485|0.906|1.2199|1.8604|2.509|3.5463|6.0606|7.5377

    参数：
    【random_num_arr, df_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

7.β分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=beta_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&shape1_value=2.5&shape2_value=1.5&ncp_value=1

    参数：
    【sample_size, shape1_value, shape2_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=beta_q&var_name=quantile_number&shape1_value=2.5&shape2_value=1.5&ncp_value=1&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, shape1_value, shape2_value, ncp_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=beta_p&var_name=probit_number&shape1_value=2.5&shape2_value=1.5&ncp_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, shape1_value, shape2_value, ncp_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=beta_d&var_name=probit_density_num&shape1_value=2.5&shape2_value=1.5&ncp_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=0.2027|0.31|0.4615|0.5291|0.6932|0.7159|0.8336|0.8836|0.9372|0.9947

    参数：
    【random_num_arr, shape1_value, shape2_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

8.柯西分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=cauchy_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&location_value=2&scale_value=1

    参数：
    【sample_size, location_value, scale_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=cauchy_q&var_name=quantile_number&location_value=2&scale_value=1&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, location_value, scale_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=cauchy_p&var_name=probit_number&location_value=2&scale_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, location_value, scale_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=cauchy_d&var_name=probit_density_num&location_value=2&scale_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=-9.2498|0.65|1.6594|2.5913|2.8088|2.8542|3.9438|4.6416|4.8556|8.1641

    参数：
    【random_num_arr, location_value, scale_value, decimal_places】
    【】

9.t分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=t_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&df_value=3&ncp_value=2

    参数：
    【sample_size, df_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=t_q&var_name=quantile_number&df_value=3&ncp_value=2&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, df_value, ncp_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=t_p&var_name=probit_number&df_value=3&ncp_value=2&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, df_value, ncp_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=t_d&var_name=probit_density_num&df_value=3&ncp_value=2&decimal_places=4&random_num_arr=0.4654|0.5159|0.8742|1.5858|1.6824|1.8721|2.1079|2.5161|4.3163|4.5852

    参数：
    【random_num_arr, df_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

10.F分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=f_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&df1_value=20&df2_value=8&ncp_value=6

    参数：
    【sample_size, df1_value, df2_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=f_q&var_name=quantile_number&df1_value=20&df2_value=8&ncp_value=6&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, df1_value, df2_value, ncp_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=f_p&var_name=probit_number&df1_value=20&df2_value=8&ncp_value=6&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, df1_value, df2_value, ncp_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=f_d&var_name=probit_density_num&df1_value=20&df2_value=8&ncp_value=6&decimal_places=4&random_num_arr=0.775|0.8618|0.9225|1.0359|1.2735|1.4574|2.2061|2.6408|3.0825|5.3007

    参数：
    【random_num_arr, df1_value, df2_value, ncp_value, decimal_places】
    【】

11.Logistic分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=logis_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&location_value=0&scale_value=1

    参数：
    【sample_size, location_value, scale_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=logis_q&var_name=quantile_number&location_value=0&scale_value=1&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, location_value, scale_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=logis_p&var_name=probit_number&location_value=0&scale_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, location_value, scale_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=logis_d&var_name=probit_density_num&location_value=0&scale_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=-4.3442|-2.3035|-1.3665|-1.2363|-0.9032|0.4973|1.1368|1.2495|1.7321|6.057

    参数：
    【random_num_arr, location_value, scale_value, decimal_places】
    【】

12.韦伯分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=weibull_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&shape_value=2&scale_value=1

    参数：
    【sample_size, shape_value, scale_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=weibull_q&var_name=quantile_number&shape_value=2&scale_value=1&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, shape_value, scale_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=weibull_p&var_name=probit_number&shape_value=2&scale_value=1&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, shape_value, scale_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=weibull_d&var_name=probit_density_num&shape_value=2&scale_value=1&decimal_places=4&random_num_arr=0.2186|0.4354|0.4376|0.4422|0.4874|0.5362|0.7553|0.8223|0.8794|0.9306

    参数：
    【random_num_arr, shape_value, scale_value, decimal_places】
    【】

离散型随机样本及临界值

1.泊松分布[返回]

（1）概述

Poisson分布（Poisson distribution），译名有泊松分布、普阿松分布等，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。泊松分布的期望和方差均为λ，参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当\(n\ge 10, p\le 0.1\)时，就可以用泊松公式近似得计算。

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

（2）密度函数及分布图形

\[P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

（3）性质

期望值：\(E(x)=\lambda\)

标准差：\(D(x)=\sqrt{\lambda}\)

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=pois_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=0&labmda_value=4
    
    参数：
    【sample_size, labmda_value】
    【生成随机数数量, labmda值】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=pois_q&var_name=quantile_number&labmda_value=4&probit_value=0.5
    
    参数：
    【probit_value, labmda_value】
    【概率值, labmda值】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=pois_p&var_name=probit_number&labmda_value=4&quantile_value=0

    参数：
    【quantile_value, labmda_value】
    【分位数值, labmda值】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=pois_d&var_name=probit_density_num&labmda_value=4&decimal_places=4&random_num_arr=2|3|3|4|4|5|5|5|6|7

    参数：
    【random_num_arr, labmda_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组, labmda值, 保留的小数位数】

2.二项分布[返回]

（1）概述

二项分布（Binomial Distribution）即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的“是/非”试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次“成功/失败”试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由 ?猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。

（2）密度函数及分布图形

\[B(k,n,p)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\]

其中，

\[C_{n}^{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\]

式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数。

（3）性质

期望值：\(E(x)=np\)

标准差：\(D(x)=\sqrt{np(1-p)}\)

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=binom_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=0&size_value=100&prob_value=0.25
    
    参数：
    【sample_size, size_value, prob_value】
    【生成随机数数量, 实验次数, 概率值】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=binom_q&var_name=quantile_number&size_value=100&prob_value=0.25&probit_value=0.5
    
    参数：
    【probit_value, size_value, prob_value】
    【概率值, 实验次数, 概率值】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=binom_p&var_name=probit_number&size_value=100&prob_value=0.25&quantile_value=25

    参数：
    【quantile_value, size_value, prob_value】
    【分位数值, 实验次数, 概率值】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=binom_d&var_name=probit_density_num&size_value=100&prob_value=0.25&decimal_places=4&random_num_arr=17|21|21|21|23|24|25|26|26|29

    参数：
    【random_num_arr, size_value, prob_value, decimal_places】
    【概率密度函数自变量数组, 实验次数, 概率值, 保留的小数位数】

3.负二项式分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=nbinom_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&size_value=100&prob_value=0.25

    参数：
    【sample_size, size_value, prob_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=nbinom_q&var_name=quantile_number&size_value=100&prob_value=0.25&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, size_value, prob_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=nbinom_p&var_name=probit_number&size_value=100&prob_value=0.25&quantile_value=25

    参数：
    【quantile_value, size_value, prob_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=nbinom_d&var_name=probit_density_num&size_value=100&prob_value=0.25&decimal_places=4&random_num_arr=226|247|271|271|282|283|283|308|311|338

    参数：
    【random_num_arr, size_value, prob_value, decimal_places】
    【】

4.几何分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=geom_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&prob_value=0.25

    参数：
    【sample_size, prob_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=geom_q&var_name=quantile_number&prob_value=0.25&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, prob_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=geom_p&var_name=probit_number&prob_value=0.25&quantile_value=25

    参数：
    【quantile_value, prob_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=geom_d&var_name=probit_density_num&prob_value=0.25&decimal_places=4&random_num_arr=0|0|0|0|1|1|1|2|4|5

    参数：
    【random_num_arr, prob_value, decimal_places】
    【】

5.超几何分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=hyper_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&m_value=10&n_value=7&k_value=8

    参数：
    【sample_size, m_value, n_value, k_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=hyper_q&var_name=quantile_number&m_value=10&n_value=7&k_value=8&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, m_value, n_value, k_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=hyper_p&var_name=probit_number&m_value=10&n_value=7&k_value=8&quantile_value=25

    参数：
    【quantile_value, m_value, n_value, k_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=hyper_d&var_name=probit_density_num&m_value=10&n_value=7&k_value=8&decimal_places=4&random_num_arr=4|4|5|6|6|6|6|6|6|6

    参数：
    【random_num_arr, m_value, n_value, k_value, decimal_places】
    【】

6.Wilcoxon分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=signrank_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&n_value=10

    参数：
    【sample_size, n_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=signrank_q&var_name=quantile_number&n_value=10&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, n_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=signrank_p&var_name=probit_number&n_value=10&quantile_value=25

    参数：
    【quantile_value, n_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=signrank_d&var_name=probit_density_num&n_value=10&decimal_places=4&random_num_arr=9|12|20|23|24|31|33|39|43|46

    参数：
    【random_num_arr, n_value, decimal_places】
    【】

7.秩和分布[返回]

（1）概述

（2）密度函数及分布图形

（3）性质

（4）Web Service接口及参数

### 随机数
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=wilcox_r&var_name=random_number&sample_size=100&decimal_places=4&m_value=4&n_value=6

    参数：
    【sample_size, m_value, n_value, decimal_places】
    【】

### 分位数（临界值）
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=wilcox_q&var_name=quantile_number&m_value=4&n_value=6&probit_value=0.5

    参数：
    【probit_value, m_value, n_value】
    【】

### 累计概率值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=wilcox_p&var_name=probit_number&m_value=4&n_value=6&quantile_value=25

    参数：
    【quantile_value, m_value, n_value】
    【】

### 概率密度值
    http://data.galaxystatistics.com:8881/?token=098f6bcd4621d373cade4e832627b4f6&type=wilcox_d&var_name=probit_density_num&m_value=4&n_value=6&decimal_places=4&random_num_arr=7|8|9|10|10|11|19|20|21|22

    参数：
    【random_num_arr, m_value, n_value, decimal_places】
    【】